Vectores y Escalares

Escalares: cantidades físicas que solo se representan por magnitud y unidad. Algunos escalares muy comunes son: masa, distancia/longitud, tiempo, volumen, temperatura, rapidez, densidad, presión, trabajo/energía, potencia, corriente, resistencia, potencial gravitacional, potencial eléctrico y flujo magnético.

Ejemplos de escalares:

Una masa de 75 Kg
Una distancia de 20 m
Una rapidez de 50 ms-1

Vectores: cantidades físicas que tienen magnitud, unidad, dirección y sentido. Algunos vectores comunes son: fuerza, desplazamiento, velocidad, momentum, aceleración, entre otros.
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Figura # 1: Etiquetas de un vector horizontal Figura #2: Ejemplo de vectores en plano cartesiano
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Figura #3: Vectores en un plano cartesiano Figura #4: Vectores en un plano cartesiano

La dirección hace referencia a como esta posicionado el vector, es decir puede ser dirección horizontal (eje X), vertical (eje Y) o diagonal (compuesto entre ejes X y Y).

El sentido hace referencia al Angulo de inclinación del vector desde el eje X.

Una cantidad vectorial se representa con una línea con una flecha. La dirección en la que le flecha apunta indica la dirección del vector. El tamaño de la línea representa la magnitud del vector.

Para la representación de un vector (diagrama) se necesitan 5 etiquetas básicas. Un punto de aplicación (usualmente comienza siendo en el valor 0 en el plano cartesiano o desde el punto de referencia, representado el cuerpo al que el vector afecta), un sentido (una flecha se dibuja apuntando en el sentido a donde va el vector), un modulo (la longitud de la flecha representa la magnitud del vector, por lo cual tiene que ser proporcional), un nombre (la flecha debe ser etiquetada con el nombre del vector, que son usualmente vectores físicos, como fuerza, aceleración, etc.) y una dirección (a referenciando la posición del vector).

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Figura #5: Etiqueta correcta de un vector

En cuanto a dirección, un vector es positivo cuando va hacia la derecha o hacia arriba pero es negativo cuando va hacia abajo o la izquierda del punto desde el punto de referencia.

Un vector es comúnmente representado en un plano cartesiano y un se puede leer por sus vectores unitarios, es decir, descomponer el vector en sus componentes: componente en X (componente horizontal) y su componente en Y (eje vertical). Digamos que el vector es aceleración. Este estara compuesto por la aceleracion en x y la aceleración en y, es decir: ax y ay. Al sumar estos dos componentes se tendrá el vector resultante (diagrama). Si se suman la componente en y y la componente en x, siempre se creará una triángulo rectángulo, siendo sus componentes ax y ay los catetos del triángulo y el vector resultante (a) será la hipotenusa. Es por eso que el vector diagonal es equivalente a la suma de sus componentes, pero la magnitud es calculada de manera distinta. En una representación de vectores unitarios, los ejes tendran nuevos nombres. El eje x se llamara î, siendo x positivo î y x negativo -î. El eje se llamará J, siendo y positivo J y y negativo -J. Si se sigue el ejemplo del vector diagonal de la aceleracion, digamos que ax es 3 ms-2 y ay es 4 ms-2, en vectores unitarios seria 3 î ms-2 y 4 J ms-2.

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Figura #6: relaciones trigonometricas en los vectores Figura #7: Componentes y vectores unitarios.

Muchas veces, mas de un vector esta presente en un sistema o actúa sobre un cuerpo. Existen dos formas sencillas de sumar vectores. La primera es el acercamiento grafico. Al sumar los vectores A y B, se dibuja el vector A (partiendo desde el punto de referencia, teniendo en cuenta el sentido, modulo, nombre y dirección), después, se dibuja el vector B teniendo como punto de partida el final de la flecha del vector A, es decir que el vector B comienza en donde termina el A. El vector B se dibujara independientemente, teniendo en cuenta su propio nombre, modulo, sentido y dirección. Después, se dibuja el vector resultante (la suma de A y B), que seria dibujar un vector con punto de partida en el punto de referencia (donde comenzó el vector A) y dibujar la flecha hasta la punta del sector B, teniendo en cuenta que la flecha de la punta del vector resultante terminara en el mismo lugar que la punta de vector B. Aquí se tendrá dibujado el vector resultante, llamado vector C. Si se tienen que sumar más vectores, se hace el mismo procedimiento. Digamos que se tienen que sumar 7 vectores: A, B, C, D, E, F y G. Se hace siempre el mismo procedimiento, comenzando desde el punto de referencia y poniendo cada vector que se le suma dibujándolo donde termina el anterior.

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Figura #8: Suma de dos vectores Figura #9: Suma de mas de dos vectores

Para encontrar la magnitud de un vector se debe aplicar el teorema de Pitágoras. La magnitud del vector aceleracion (como en el ejemplo anterior) será: a= (ax^2 + ay^2)^1/2 (raiz cuadrada de ax a la dos más ay a la dos). En el ejemplo de la aceleración, la magnitud total el vector aceleracion sería: a=(3^2 + 4^2)^1/2 a=(9+16)^1/2 a=(25)^1/2 a=5

La componente en el eje x es equivalente a la magnitud del vector resultante multiplicado por el coseno del angulo del vector resultante: a*cos(theta)=ax
La componente en el eje y es equivalente a la magnitud del vector resultante multiplicado por el seno del angulo del vetor resultante: a*sen(theta)=ay
El sentido es igual a la tangente inversa de la componente en y dividido la componente en x: Theta= tan-1(ay/ax)

Tambien se pueden sumar o restar los vectores de forma algebraica y obtener un vector resultante de esta manera. Teniendo en cuenta que cada vector tiene componentes en X y en Y, y que solo se pueden operar los componentes en X con las demas en X y que las componentes en Y solo se operan con las componentes en Y. Es decir, teniendo en cuenta que el vector A=(Ax,Ay) y el vector B=(Bx,By). Vector A+B=(Ax+Bx,Ay+By). Por ejemplo, si el vector A=(3,4) y el B=(-6,7) entonces el vector A+B= (3-6,4+7)=(-3,11). Al restar vectores se hace lo mismo solo que se invierten los signos del vector que este restando al otro vector, es decir, siendo el vector A=(3,4) y el B=(-6,7), entonces A-B=(3-(-6),4-7)=(3+6,4-7) = (9,-3).

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Figura 10: suma, resta y magnitudes de vectores unitarios.

Por ultimo, un vector tambien se puede plantear sobre los puntos cardinales al igual que en un plano cartesiano, donde x positivo es el este, Y positivo es el norte, X negativo es el oeste y Y negativo seria sur. Los sentidos se dan correspondientes a cualquiera de estos puntos. Por ejemplo, 50 grados del norte al este seria el equivalente a un vector con sentido de 40 grados.